Giriş
Sevgili öğrencilerim, 10. sınıf matematik istatistiksel araştırma süreci konusuna başlarken yazının biraz uzun görünebileceğini biliyorum. Bunun bir nedeni var: Yalnızca 10. sınıftaki yeni bilgileri değil, 9. sınıftan getirdiklerinizi ve 11. sınıfta kullanacaklarınızı da birbirine bağlayacağız. Yazıyı bir defada ezberlemek yerine örneklerde durup düşünerek okuyun.
9. sınıfta tek nicel değişkenli veri dağılımını, 10. sınıfta iki kategorik değişken arasındaki ilişkiyi, 11. sınıfta ise iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi araştırıyoruz. Araştırmanın yolu tanıdık; her sınıfta değişen veri türü ve analiz araçları.
Ders kitaplarındaki uzun etkinlikler sizi ürkütmesin. Aynı araştırma aşamaları farklı durumlarda uygulanıyor. Özellikle bu yılki konuyu iyi öğrenirseniz 11. sınıfa daha sağlam bir temel ile geçersiniz.
9. Sınıftan neyi hatırlıyoruz?
9. sınıfta bir grubun tek nicel değişkenine ait dağılımı incelediniz. Örneğin bir sınıftaki günlük matematik çalışma sürelerini toplayıp uygun grafiklerle gösterdiniz; aritmetik ortalama, ortanca ve açıklık gibi ölçülerle değerlendirdiniz.
Üç sınıfın ders kitabında karşılaşacağınız araştırma basamakları birbirinden kopuk değil. Özellikle araştırma sorusunun ölçütleri ve veri toplama planı geçen yıldan tanıdığınız iki temel başlık. Şimdi bunları kısaca hatırlayalım.
Araştırma sorusu → veri toplama → düzenleme → analiz → yorumlama. Araştırma sonuçları yeni sorular doğurabileceği için süreç döngüsel biçimde de devam edebilir.
9, 10 ve 11. sınıfta ortak olan iki temel başlık
1. Araştırma sorusunun özellikleri: Soru açık, araştırmaya değer ve veri toplanarak cevaplanabilir olmalıdır. İncelenen grup ve değişkenler belli olmalı, soru değişebilirliği yansıtmalı ve araştırmaya uygun olmalıdır. 2. Veri toplama planı: Veri toplama aracı, evren ve örneklem, rastgelelik, değişkenler, verilerin nerede/ne zaman/nasıl/kimlerden toplanacağı, nasıl kaydedileceği ve gizlilik ile dürüstlük ilkeleri düşünülmelidir.
Ali Hoca’dan hatırlatma: Bu başlıkları 9. sınıftan tanıyorsunuz; 10 ve 11. sınıfta da kullanacaksınız. Fakat araştırma sorusunun tek nicel, iki kategorik veya iki nicel değişkene uygun olması ve analiz yöntemi sınıfa göre değişir. Bu yüzden aynı aşamaların yeniden verilmesi, aynı sorunun üç yıl boyunca aynen çözüleceği anlamına gelmez.
Şimdi aynı çalışma alışkanlıkları araştırmasına yeni iki özellik ekleyeceğiz: öğrencilerin çalışma ortamı ve düzenli çalışma planı. Artık iki kategorik değişkenimiz var.
2.1. İki kategorik değişkenli veriler
Kategorik değişken, bireyleri belli gruplara ayırır: ev/kütüphane; planı var/yok; yürüyerek/servisle. Günlük çalışma süresi veya sınav puanı ise nicel değişkendir. Sayı kullanılması tek başına bir özelliği nicel yapmaz; örneğin sınıf şubesi bir kategoridir. 10. sınıf matematik istatistiksel araştırma süreci içinde bu ayrımı doğru yapmak, sonraki tablo ve grafik yorumlarını da kolaylaştırır.
Bir değişkenin kategorilerine göre diğer değişkenin dağılımı farklılaşıyorsa iki değişken arasında ilişkililik gözlenebilir. Bu ilişkiyi değerlendirmek için aynı öğrencinin iki özelliğini birlikte toplamalıyız.
Cevap: Değişkenler çalışma ortamı tercihi ile düzenli çalışma planına sahip olma durumudur. Örneğin “Bu okuldaki 10. sınıf öğrencilerinin tercih ettikleri çalışma ortamı ile düzenli çalışma planına sahip olmaları arasında ilişki var mıdır?” sorusu kurulabilir.
Araştırma sorusu ve veri toplama
Az önce hatırladığımız iki ortak başlığı şimdi 10. sınıfın araştırmasına uygulayalım. Soruda hangi öğrencilerin incelendiği, çalışma ortamı ile düzenli plan durumu açıkça görülmeli; sonuç önceden kabul edilmemelidir.
Veri toplama planında uygun anket veya kayıt yöntemini, evreni ve örneklemi, seçimin rastgeleliğini, verilerin nerede ve ne zaman kimlerce toplanacağını, nasıl kaydedileceğini ve gizliliğin nasıl korunacağını belirleriz. Örneğimizde her öğrencinin iki kategorik özelliğini aynı kayıtta tutacağız. 9. sınıftan bildiğiniz planın bu yılki uygulaması budur.
İki yönlü sıklık tablosu
100 öğrencinin ev veya kütüphane tercihiyle planlı olup olmama durumunu birlikte gösterdiğimizi düşünelim. Bu bölümdeki sayılar öğretim için oluşturulmuş özgün verilerdir.
Çözüm: Kütüphaneyi seçen 50 öğrencinin 30’unun planı var, 20’sinin yok. Ev grubunda bu sayılar 15 ve 35. Satır toplamları 50 + 50 = 100; sütun toplamları 45 + 55 = 100. Toplamlar tutarlı.
Toplam göreli sıklık
Bir hücrenin bütün veri grubu içindeki payını istiyorsak sıklığı genel toplam olan 100’e böleriz. Örneğin hem kütüphaneyi seçen hem planı olan öğrencilerin toplam göreli sıklığı 30/100 = %30’dur. Diğer hücrelerde sırasıyla %20, %15 ve %35 bulunur; toplam %100 eder.
Fakat “kütüphanedekilerin yüzde kaçı planlı?” sorusunun cevabı bu değildir. Onun için farklı bir payda kullanacağız.
Koşullu göreli sıklık
Çözüm: (a) Kütüphaneyi seçen 50 öğrencinin 30’u planlıdır: 30/50 = %60. (b) Planlı 45 öğrencinin 30’u kütüphaneyi seçmiştir: 30/45 ≈ %66,7. Aynı 30 kişiyi saydık, ama soruda esas alınan grup değişti.
Ev grubunda planlı olma oranı 15/50 = %30’dur. Dolayısıyla çalışma ortamına göre planlı olma koşullu oranları %60 ve %30’dur.
Kümeli sütun grafiği ve ilişkililiği yorumlama
Çözüm: Kütüphane grubunda planı olanların oranı %60, ev grubunda %30’dur; fark 30 yüzde puandır. Bu örneklemde çalışma ortamı ile planlı olma arasında ilişkililik olduğuna dair bir bulgu vardır. Bunun kütüphanede çalışmanın planlı olmaya neden olduğunu kanıtladığını söyleyemeyiz.
Kümeli sütun grafiğinde her çalışma ortamı için “planı var” ve “planı yok” sütunları yan yana gösterilir. Karşılaştırmanın kişi sayılarına mı, toplam yüzdelere mi, yoksa koşullu yüzdelere mi dayandığı mutlaka belirtilmelidir.
2.2. Başkalarının istatistiksel verilerini inceleme
9. sınıfta başkalarının tek nicel veriler hakkında yaptığı yorumları sorguladınız. 10. sınıfta aynı titizliği iki kategorik değişkene ilişkin tablo, grafik ve iddialarda kullanıyoruz. Verinin kaynağı, örneklemin temsil gücü, doğru payda, yanıltıcı grafik ve nedensellik iddiaları önemlidir.
Çözüm: Katılan kişi sayısı A’da 60, B’de 40 olduğundan sayı A’da yüksektir. Katılım oranları A için 60/300 = %20, B için 40/100 = %40’tır. Oran B’de yüksektir. “Katılım daha yüksek” ifadesi hangi ölçütün kullanıldığını söylemeden eksik kalır.
9. Sınıftan bildiklerimiz, 10. Sınıfta dikkat edeceklerimiz
İstatistikte hata yalnızca yanlış işlem yapmak değildir. Hesap doğruyken yorum yanlış olabilir. Özellikle şu ayrımları kontrol edin:
| Bildiklerimiz | Dikkat edeceğimiz nokta |
|---|---|
| 9. sınıftan: araştırma sorusu | Veriyle yanıtlanmalı, yönlendirici olmamalı. |
| 9. sınıftan: evren, örneklem ve güvenilirlik | Küçük veya yanlı bir örneklem için genelleme yapılmamalı. |
| 10. sınıfta: değişken türü | Çalışma süresi nicel, çalışma ortamı kategoriktir. |
| 10. sınıfta: iki yönlü tablo | Aynı bireyin iki özelliği birlikte kaydedilmeli. |
| 10. sınıfta: koşullu oran | Payda, sorunun esas aldığı gruptur. |
| 10. sınıfta: ilişkililik | Nedensellik varsayılmamalı. |
10. Sınıftan 11. Sınıfa geçiş
Şimdi çalışma ortamı ve plan durumunu bir kenara bırakıp aynı öğrencilerin günlük çalışma süresi ile sınav puanı arasındaki ilişkiyi soralım. İki değişkenimiz de nicel. 11. sınıfta bunları serpme diyagramıyla gösterecek; ilişkinin yönü ve gücünü bölgelere göre sayım oranı ve korelasyon katsayısı gibi araçlarla inceleyeceksiniz.
Araştırma sorusu oluşturma, veri toplama ve yorumlama yolu ise değişmiyor. Ayrıntılı anlatım için 11. Sınıf Matematik İstatistiksel Araştırma Süreci yazısına bakabilirsiniz.
Tek veri grubuyla 9, 10 ve 11. sınıf
Yazının başında söz verdiğim örnek bu. Aynı sekiz öğrenciye ait dört özelliği birlikte topladığımızı düşünelim. Aynı veri grubu, üç ayrı istatistiksel soru.
9. sınıfta neyi öğreniyoruz?
Bir nicel değişkenin dağılımı: Çalışma süreleri 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 saattir. Aritmetik ortalama 24/8 = 3 saat, ortanca 3 saat, açıklık 5 − 1 = 4 saat. Burada çalışma süresini tek başına inceliyoruz.
10. sınıfta neyi öğreniyoruz?
İki kategorik değişkenin ilişkisi: Ev grubunda dört öğrencinin biri, kütüphane grubunda dört öğrencinin üçü planlıdır. Koşullu oranlar sırasıyla %25 ve %75; fark 50 yüzde puandır. Bu sekiz kişilik örnekte farklılık vardır; genel bir neden-sonuç iddiası kuramayız.
11. sınıfta neyi öğreniyoruz?
İki nicel değişkenin ilişkisi: Çalışma süresiyle sınav puanına birlikte bakarız. Verilerde süre yükseldikçe puanın genel olarak yükseldiği gözleniyor. 11. sınıfta bunun yönünü ve gücünü uygun grafik ve ölçülerle inceleyeceğiz.
Üç yılda aynı kalan: soruyu belirlemek, güvenilir veri toplamak, düzenlemek ve bulguyu yorumlamak. Değişen: sorunun kapsamı, değişkenlerin türü ve analiz yöntemi. Birbirinden kopuk üç konu değil; gelişen aynı araştırma düşüncesi.
Ali Hoca’dan son bir hatırlatma
Sevgili öğrencilerim, kitabınızda uzun uzun karşılaştığınız araştırma aşamalarını her yıl sıfırdan öğrenmeniz gerekmiyor. 9. sınıfta başladığınız yolun 10. sınıfta nasıl genişlediğini, 11. sınıfta nasıl sürdüğünü gördünüz.
Bu yıl özellikle iki yönlü tabloyu doğru okumaya, koşullu göreli sıklıkta paydayı seçmeye ve bulduğunuz sayının ne anlattığını söylemeye çalışın. Bu üç beceri oturduğunda konu düşündüğünüz kadar zor gelmeyecek. Matematikte en kıymetli şey, işlemi bitirdikten sonra sonucun anlamını da görebilmektir.
Ali Sancı
Matematik Öğretmeni – Ah Şu Matematik
