11. Sınıf matematik geometrik şekiller 2.tema ; dörtgenlerin ve çokgenlerin yalnızca adlarını ve formüllerini öğrenmekten çok, bu şekillerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özellikleri arasındaki ilişkileri anlamaya odaklanır.
2.Tema boyunca önceki sınıflarda öğrenilen üçgenlerde açı, benzerlik ve alan bilgilerinden yararlanılarak yeni geometrik sonuçlara ulaşılır. Bu nedenle konuyu çalışırken formülleri ezberlemek kadar, bu formüllerin ve özelliklerin hangi geometrik düşünceden ortaya çıktığını anlamak da önemlidir.
11.Sınıf matematik konuları içinde önemli bir yere sahip olan bu tema; Dörtgenlerin Özellikleri, Özel Dörtgenler Arasındaki İlişkiler, Çokgenlerin Sınıflandırılması, Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri ve Çokgenlerle İlgili Problemler olmak üzere beş ana bölümden oluşur.
Konunun resmî kapsamı ve öğrenme çıktıları için MEB Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli 11. sınıf matematik programındaki Geometrik Şekiller temasını inceleyebilirsiniz.
Sınıf Geometrik Şekiller Konu Başlıkları:
2.1. Dörtgenlerin Özellikleri
Dörtgen, dört doğru parçasının oluşturduğu kapalı geometrik şekildir. Dörtgenlerin dört kenarı, dört köşesi ve iki köşegeni vardır.
Dörtgenlerin özellikleri incelenirken şekiller gerektiğinde üçgenlere ayrılır. Bu yaklaşım, dörtgenlerle ilgili birçok sonucun neden doğru olduğunu anlamayı kolaylaştırır.
İçbükey ve Dışbükey Dörtgen
Bir dörtgende bütün iç açıların ölçüsü 180°’den küçükse dörtgen dışbükey dörtgen olarak adlandırılır.
İç açılarından en az biri 180°’den büyükse dörtgen içbükey dörtgendir.
Bu ayrım köşegenler yardımıyla da düşünülebilir. Dışbükey dörtgenlerde köşegenler dörtgenin iç bölgesinde kalırken, içbükey dörtgenlerde köşegenlerden biri kısmen dış bölgede bulunabilir.
Dörtgenin İç Açılar Toplamı
Bir dörtgen bir köşegeni yardımıyla iki üçgene ayrılabilir. Her üçgenin iç açılar toplamı 180° olduğundan:
Dörtgenin iç açılar toplamı = 360°
ABCD dörtgeninde: m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360°
Bu bağıntı, dörtgende bilinmeyen bir açıyı bulurken kullanılan en temel bilgilerden biridir.
Kısa örnek: Bir dörtgenin üç açısı 70°, 90° ve 110° ise dördüncü açı:
360° − (70° + 90° + 110°) = 90° olur.
Dörtgenin Dış Açıları
Bir dışbükey dörtgenin köşelerinden aynı yönde birer dış açı alındığında dış açıların toplamı: 360° olur.
Ayrıca bir iç açı ile ona komşu dış açının toplamı 180°’dir.
Dörtgenlerde Açıortaylardan Elde Edilen Özellikler
Dörtgenlerde yalnızca açıların toplamı değil, açıortaylar arasındaki ilişkiler de önemlidir.
Komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açı, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısıyla ilişkilidir.
Uygun durumda:
Oluşan açı = (Diğer iki iç açının toplamı) / 2
Dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortaylarının oluşturduğu dar açı ise diğer iki açının ölçüleri arasındaki farkın mutlak değerinin yarısıyla ilişkilidir.
Bu tür bağıntılar özellikle açıortayların bulunduğu dörtgen sorularında kullanılır.
Özel Dörtgenler ve Temel Özellikleri
Yamuk
En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgen yamuk olarak ele alınır.
Paralel kenarlara taban adı verilir. Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğu, taban uzunlukları toplamının yarısına eşittir:
Orta taban = (Alt taban + Üst taban) / 2
Yamuk sorularında paralellikten dolayı oluşan benzer üçgenler de önemli bir çözüm aracıdır.
İkizkenar Yamuk
Yan kenar uzunlukları birbirine eşit olan yamuk ikizkenar yamuktur.
İkizkenar yamukta:
- Aynı tabana ait açılar eşittir.
- Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
- Bir simetri ekseni vardır.
Dik Yamuk
Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuk dik yamuktur.
Bu durumda iki iç açı 90° olur. Dik yamuklarda dik olan yan kenar aynı zamanda yüksekliği verir.
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
Paralelkenarda:
- Karşılıklı kenarlar eşittir.
- Karşılıklı açılar eşittir.
- Komşu iki açının toplamı 180°’dir.
- Köşegenler birbirini ortalar.
Eşkenar Dörtgen
Bütün kenar uzunlukları eşit olan paralelkenar eşkenar dörtgendir.
Eşkenar dörtgende:
- Karşılıklı açılar eşittir.
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegenler birbirine diktir.
- Köşegenler köşe açılarını iki eş parçaya ayırır.
- Köşegenler simetri eksenidir.
Dikdörtgen
Bütün iç açıları 90° olan paralelkenar dikdörtgendir.
Dikdörtgende:
- Karşılıklı kenarlar eşit ve paraleldir.
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
Dikdörtgende köşegenler genel olarak açıortay değildir.
Kare
Bütün kenarları eşit ve bütün iç açıları 90° olan dörtgen karedir.
Karede:
- Karşılıklı kenarlar paraleldir.
- Bütün kenarlar eşittir.
- Bütün açılar 90°’dir.
- Köşegenler eşittir.
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegenler birbirine diktir.
- Köşegenler köşe açılarını iki eş parçaya ayırır.
- Köşegenler simetri eksenidir.
Bu nedenle kare; dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenarın birçok özelliğini aynı anda taşır.
Deltoid
İki çift komşu kenarı kendi içinde eşit olan dörtgene deltoid denir.
Deltoidde:
- Eşit kenar çiftlerinin birleştiği köşeleri birleştiren köşegen simetri eksenidir.
- Köşegenler birbirine diktir.
- Simetri ekseni olan köşegen diğer köşegeni ortalar.
- Simetri ekseni ilgili köşe açılarını iki eş parçaya ayırır.
Dörtgenlerde Alan
Dörtgenlerin alanı incelenirken en önemli fikirlerden biri şekli uygun biçimde üçgenlere ayırmaktır.
Genel Dörtgen Alanı
Köşegen uzunlukları d₁ ve d₂, köşegenler arasındaki açı α olan dışbükey bir dörtgende:
Alan = (1/2) · d₁ · d₂ · sin α
Bu bağıntı, dörtgenin köşegenlerle daha küçük üçgenlere ayrılmasıyla elde edilir.
Köşegenler birbirine dikse sin 90° = 1 olduğundan: Alan = (d₁ · d₂) / 2 olur.
Yamuğun Alanı
Paralel kenar uzunlukları a ve c, yüksekliği h olan yamukta:
Alan = [(a + c) · h] / 2
Paralelkenarın Alanı
Taban uzunluğu a ve bu tabana ait yüksekliği h olan paralelkenarda:
Alan = a · h
İki komşu kenar uzunluğu a ve b, aralarındaki açı α ise:
Alan = a · b · sin α
Paralelkenarın köşegenleri şekli eş alanlı dört üçgene ayırır.
Dikdörtgen ve Karenin Alanı
Dikdörtgende:
Alan = kısa kenar · uzun kenar
Karede kenar uzunluğu a ise:
Alan = a²
Eşkenar Dörtgen ve Deltoidin Alanı
Köşegenler birbirine dik olduğundan uygun durumda:
Alan = (d₁ · d₂) / 2
bağıntısı kullanılabilir.
2.2. Özel Dörtgenler Arasındaki İlişkiler
Özel dörtgenleri birbirinden tamamen bağımsız şekiller olarak düşünmek doğru değildir. Bir dörtgen bazı ek özellikleri sağladığında daha özel bir dörtgen sınıfına girebilir.
Özel Dörtgenler Arasındaki İlişki
Temel ilişkiler şöyle düşünülebilir:
- Kare, aynı zamanda bir dikdörtgendir.
- Kare, aynı zamanda bir eşkenar dörtgendir.
- Kare, paralelkenarın özelliklerini taşır.
- Dikdörtgen, özel bir paralelkenardır.
- Eşkenar dörtgen, özel bir paralelkenardır.
- Eşkenar dörtgen, deltoidin temel özelliklerini de taşır.
- Kapsayıcı sınıflandırmada paralelkenarlar yamuk sınıfı içinde de değerlendirilebilir.
Buradaki temel düşünce şudur:
Daha özel bir dörtgen, kendisinden daha genel sınıfların gerekli özelliklerini de taşır.
Örneğin her kare bir dikdörtgendir; ancak her dikdörtgen kare değildir.
Bu hiyerarşik ilişkiyi anlamak, dörtgenlerin özelliklerini tek tek ezberlemekten daha kullanışlıdır.
2.3. Çokgenlerin Sınıflandırılması
Üç veya daha fazla doğru parçasının uç uca birleşerek oluşturduğu kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
11. sınıf matematik 2. tema kapsamında çokgenler özellikle içbükey ve dışbükey olmak üzere sınıflandırılır.
Dışbükey Çokgen
Bütün iç açılarının ölçüsü 180°’den küçük olan çokgen dışbükey çokgendir.
Dışbükey çokgende iki köşeyi birleştiren köşegenler çokgenin iç bölgesinde kalır.
İçbükey Çokgen
En az bir iç açısı 180°’den büyük olan çokgen içbükey çokgendir.
İçbükey çokgende köşegenlerden en az biri kısmen çokgenin dış bölgesinde kalabilir.
Bu nedenle çokgenleri sınıflandırırken yalnızca genel görünüşe değil, iç açıların ve köşegenlerin durumuna da dikkat edilmelidir.
2.4. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri
Dışbükey çokgenlerin açı ve köşegen bağıntılarının önemli bir bölümü, çokgeni üçgenlere ayırma fikriyle açıklanabilir.
n, çokgenin kenar sayısını göstermek üzere temel bağıntılar şöyledir.
Bir Köşeden Çizilebilen Köşegen Sayısı
Bir köşeden kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemez.
Bu nedenle:
Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı = n − 3
Çokgenin Toplam Köşegen Sayısı
Her köşeden n − 3 köşegen çizilebilir. Ancak her köşegen iki kez sayıldığı için:
Toplam köşegen sayısı = n(n − 3) / 2
Kısa örnek: 10 kenarlı bir çokgende:
10 · 7 / 2 = 35 köşegen bulunur.
Bir Köşeden Oluşan Üçgen Sayısı
Bir köşeden bütün köşegenler çizildiğinde n kenarlı dışbükey çokgen:
n − 2 üçgene ayrılır.
Çokgenin İç Açılar Toplamı
Çokgen n − 2 üçgene ayrıldığı için:
İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°
Çokgenin Dış Açılar Toplamı
Bir dışbükey çokgenin köşelerinden aynı yönde birer dış açı alındığında:
Dış açılar toplamı = 360°
Bu sonuç çokgenin kenar sayısından bağımsızdır.
Düzgün Çokgenler
Bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açı ölçüleri eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.
n kenarlı düzgün çokgende:
Bir dış açı = 360° / n
Bir iç açı = 180° − 360° / n veya
Bir iç açı = [(n − 2) · 180°] / n
bağıntıları kullanılabilir.
Kısa örnek: Düzgün dokuzgenin bir dış açısı:
360° / 9 = 40°
Bir iç açısı:
180° − 40° = 140° olur.
Düzgün Çokgenlerde Köşegen ve Simetri
Düzgün çokgenlerde köşegenler yalnızca uzunluk bulmak için değil, şeklin simetri ve alan özelliklerini ortaya çıkarmak için de kullanılır.
Düzgün n kenarlı bir çokgenin:
n tane simetri ekseni vardır.
Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı köşelerden geçen bazı köşegenler simetri ekseni oluşturabilir.
Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde ise bir köşeden karşı kenarın orta noktasına geçen doğru simetri eksenlerinden biridir.
Düzgün çokgenlerin bütün iç açıortayları merkezde kesişir.
Düzgün Çokgenlerde Alan
Düzgün çokgenin merkezi bütün köşelere birleştirildiğinde çokgen eş ikizkenar üçgenlere ayrılır.
n kenarlı düzgün çokgende merkez O ve ardışık iki köşe A ile B olmak üzere:
m(AOB) = 360° / n olur.
Merkezden köşeye olan uzaklık R ise alan:
Alan = n · (1/2) · R² · sin(360° / n)
şeklinde düşünülebilir.
Buradaki temel fikir formülü ezberlemekten çok, düzgün çokgenin n tane eş üçgenden oluştuğunu fark etmektir.
Özellikle düzgün altıgen, düzgün sekizgen ve düzgün onikigen gibi şekillerde bu parçalama yöntemi alan hesabını kolaylaştırır.
2.5. Çokgenlerle İlgili Problemler
Tema sonunda dörtgen ve çokgenlerle ilgili öğrenilen özellikler farklı problem durumlarında birlikte kullanılır.
Bu problemlerde mimari yapılar, yüzey kaplamaları, tekstil ve dokumacılık, süslemeler, motifler ve günlük yaşamdan farklı geometrik durumlar kullanılabilir.
Çokgenlerle ilgili bir problem çözülürken şu düşünme sırası yararlı olur:
- Verilen şekli ve nicelikleri belirle.
- Şeklin hangi dörtgen veya çokgen özelliklerini taşıdığını belirle.
- Gerekirse şekli üçgenlere veya daha basit parçalara ayır.
- Uygun açı, kenar, köşegen, simetri veya alan ilişkisini seç.
- Birden fazla çözüm yolu varsa en uygun stratejiyi belirle.
- İşlemleri gerçekleştir.
- Sonucun geometrik duruma uygunluğunu kontrol et.
Bu bölümde amaç yalnızca sayısal sonuca ulaşmak değildir. Problemi geometrik bir modele dönüştürmek, doğru ilişkiyi seçmek ve kullanılan çözüm yolunun neden işe yaradığını anlamak da önemlidir.
Geometrik Şekiller Konusunda Dikkat Edilmesi Gerekenler
- İçbükey ve dışbükey çokgenleri yalnızca şeklin görünüşüne bakarak ayırmayın; iç açıları ve köşegenleri de inceleyin.
- Dörtgenin iç açılar toplamının 360° olduğunu unutmayın.
- Bir özel dörtgene ait özelliği bütün dörtgenler için geçerli sanmayın.
- Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ancak genel olarak açıortay değildir.
- Eşkenar dörtgende köşegenler diktir ve köşe açılarını ortalar; ancak köşegen uzunlukları genel olarak eşit değildir.
- Karenin hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen özelliklerini taşıdığını unutmayın.
- Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı n − 3, toplam köşegen sayısı ise n(n − 3)/2‘dir.
- Çokgenin iç açılar toplamı ile düzgün çokgenin bir iç açısını birbirine karıştırmayın.
- Düzgün çokgende bir dış açı 360°/n iken bütün dış açıların toplamı 360°‘dir.
- Alan sorularında formülü doğrudan kullanmadan önce şeklin üçgenlere veya daha basit parçalara ayrılıp ayrılamayacağını inceleyin.
11. sınıf matematik geometrik şekiller konusunu tekrar ederken şeklin özelliklerini doğru belirlemek, uygun açı, köşegen ve alan bağıntısını seçmeyi kolaylaştırır.
Kısaca 11. Sınıf Geometrik Şekiller
- Dörtgenlerin dört kenarı, dört köşesi ve iki köşegeni vardır.
- Dışbükey dörtgenlerin bütün iç açıları 180°’den küçüktür.
- Bir dörtgenin iç açılar toplamı 360°‘dir.
- Dörtgenlerle ilgili birçok özellik şeklin üçgenlere ayrılmasıyla açıklanabilir.
- Yamukta en az bir çift karşılıklı kenar paraleldir.
- Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir; köşegenler birbirini ortalar.
- Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir ve köşe açılarını ortalar.
- Dikdörtgende köşegenler eşit uzunluktadır ve birbirini ortalar.
- Kare; dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenarın temel özelliklerini birlikte taşır.
- Deltoidde iki çift komşu kenar kendi içinde eşittir.
- Çokgenler bu tema kapsamında içbükey ve dışbükey olarak sınıflandırılır.
- n kenarlı dışbükey çokgende bir köşeden n − 3 köşegen çizilebilir.
- Toplam köşegen sayısı n(n − 3)/2‘dir.
- İç açılar toplamı (n − 2) · 180°‘dir.
- Düzgün n kenarlı çokgende bir dış açı 360°/n‘dir.
- Bir düzgün çokgenin iç açısı 180° − 360°/n ile bulunabilir.
- Düzgün çokgenler merkezden köşelere ayrıldığında eş üçgenler elde edilir.
- Çokgen problemlerinde açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özellikleri birlikte kullanılabilir.
Bir önceki temayı tekrar etmek için 11. Sınıf Matematik 1. Tema: İstatistiksel Araştırma Süreci konu özetini inceleyebilirsiniz.
Ali Sancı-Matematik Öğretmeni